理论力学

为什么要有理论力学

在理论力学/分析力学诞生之前，牛顿大神就告诉我们，在经典的环境中，使用牛顿三定律，可以解决所有力学问题，事实证明，排除高速和微观环境，在经典力学环境中，三定律堪称伟大，它易于理解和接受，并且容易进行，但是，牛顿的力学体系在处理某些问题时，十分的麻烦，比如约束较多的问题中，使用牛顿力学进行受力分析宛如在node里写回调函数，这时就有人想，能不能通过解析的方式，来描述运动问题呢？

1743年，法国物理学家达朗贝尔发表《论动力学》，创造性的提出了达朗贝尔原理，使用巧妙的方法，化解了矢量力学中约束的问题，为力学提供了一条新的解决问题的途径

1788年，法国物理学家拉格朗日出版《分析力学》一书，引出广义位移从而得到了拉格朗日方程，他用数学分析代替了受力分析，从此拉格朗日力学诞生，分析力学/理论力学正式走上历史舞台

1834年，美国物理学家哈密顿相继发表《论动力学中的一个普遍方法》，《论动力学中的一个普遍方法》，随后又得到哈密顿正则方程和哈密顿原理，使分析力学发展到一个新的高度。

达朗贝尔原理

约束

在开始说理论力学之前我们先谈一下约束，为了描述一个质点的位置，我们常用$ \mathbf{r}$或者三个坐标表示，在三维空间中，使用$\mathbf{r}$足够描述所有的位置。

约束是对系统状态的强制性限制，几乎所有的力学体系都存在约束，比如刚体中，随意选取两个点，它们之间的距离保持不变，对状态的限制就是对质点位置和速度的限制，它们具有一般的数学表达式： \(f(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},\cdots,\mathbf{r_n};\dot{\mathbf{r_1}},\dot{\mathbf{r_2}},\cdots,\dot{\mathbf{r_n}};t)=0\)

这种方程被称作约束方程，坐标和速度必须满足的条件叫做约束条件。

几何约束

某些约束只作用于力学系统的几何特征，对速度没有限制，这种约束叫做几何约束，其数学表达式为 \(f(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},\cdots,\mathbf{r_n};t)=0\)

运动约束

某些约束不仅作用于几何特征，同样限制了速度，这种约束叫作运动约束

完整约束和非完整约束

对于几何约束，虽然看上去对速度没有影响，但从某个方面来讲，也对速度进行了限制，有 \(\sum_{j=1}^{3n}\frac{\partial f}{\partial \mathbf{r_j}} \dot{\mathbf{r_j} }+\frac{\partial f}{\partial t}=0\)

这正是运动约束的体现。

同样，某些运动约束也能通过积分为 \(x_0-R\theta+const=0\)

可积分的运动约束和几何约束在物理上不存在区别，统称为完整约束。

但是有一些运动约束不能积分，这种约束叫做非完整约束。

广义坐标

在日常生活中，我们经常会使用坐标来描述一个物体的位置，但在某些情况中，比如一个球面，我们倘若用$(x,y,z)$来描述这个物体的位置，这三个坐标并不相互独立，即有$x^2+y^2+z^2=r^2$这个限制，不独立的坐标对于力学的分析是有一定阻碍的，但倘若用$(\theta,\varphi)$来描述，这两个坐标相互独立，更易于分析，通常我们把能用一组相互独立确定一个物体的位置的坐标，称作广义坐标，我们用$q$来表示。

广义的运动可以用广义坐标描述： \(q_i=q_i(t)\)

其随时间的变化率$\dot{q_i}$称作广义速度。

虚功原理

虚位移

在物体运动的某个时刻，我们将时间暂停下来，排除时间的影响，一个物体在约束的作用下，能够运动的方向是受限的，我们把这个时间暂停空间中，一个物体可能运动所有的方向的无限小可能位移称作虚位移。

Attention：真实位移未必存在于虚位移中

理想约束

力与位移的乘积被称作功，自然力与虚位移的乘积就被称作虚功。 我们把约束力记作$\mathbf{N_i}$，把虚位移记作 $\delta \mathbf{r_i}$，则虚功为 \(\delta W=\sum_{i=1}^n\mathbf{N_i}\cdot \mathbf{r_i}\)

存在很多种约束，其力与虚位移的内积在系统种的和为0，即 \(\delta W =0\)

这样的约束被称作理想约束

Attention：理想约束的定义是针对所有约束而言的，而不是某个特定的约束。

Attention：理想约束的前提不是所有的力与虚位移都不产生虚功，而是虚功之和为0

虚功原理

考虑一下静力学问题，满足静力学的力学条件一定是平衡的，因此，对于一个质点系统，对于第$i$个质点的主动力$\mathbf{F_i}$和约束力$\mathbf{N_i}$合力应为0

于是有: \(\delta W_i=\mathbf{F_i}\cdot \delta \mathbf{r_i}+\mathbf{N_i}\cdot \delta \mathbf{r_i}=0\)

对于整个系统，就有： \(\delta W=\sum_{i=1}^n\mathbf{F_i}\cdot \delta \mathbf{r_i}+\sum_{i=1}^n\mathbf{N_i}\cdot \delta \mathbf{r_i}=0\)

在理想约束条件下，易得 \(\delta W=\sum_{i=1}^n\mathbf{F_i}\cdot \delta \mathbf{r_i}=0\)

这称作虚功原理或者虚位移原理，其指出：当一个只有理想约束的系统处于平衡态下，作用于力学所有主动力的虚功为0

广义坐标下的虚功原理

呐呐，看到这里你发现了一个问题了吗？

虚功原理涉及了虚位移的，这是一个不确定量，说明等式中最终一定不能存在虚位移，才能得到明确的平衡条件。

但是那么又出现了一个问题，虚位移不一定独立啊，由于约束条件下虚位移不独立，这怎么舍啊。

为了解决这样一个困难，我们可以采用广义坐标来解决这个问题。 \(\delta\mathbf{r_i}=\sum_{\alpha=1}^s\frac{\partial \mathbf{r_i}}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha\)

带回虚功原理表达式，有 \(\delta W=\sum_{i=1}^n\mathbf{F_i}\cdot(\sum_{\alpha=1}^s\frac{\partial \mathbf{r_i}}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha)\) \(\delta W=\sum_{\alpha=1}^s(\sum_{i=1}^n\mathbf{F_i}\cdot\frac{\partial \mathbf{r_i}}{\partial q_\alpha})\delta q_\alpha=0\)

我们把广义虚位移的系数$\sum_{i=1}^n\mathbf{F_i}\cdot\frac{\partial \mathbf{r_i}}{\partial q_\alpha}$记作$Q_\alpha$，称作广义力。

Attention：广义力的量纲未必是力的量纲，它取决于广义坐标的形式

最终，我们得到了广义坐标下的虚功原理： \(\delta W=\sum_{\alpha=1}^s Q_\alpha\delta q_\alpha\)

这样 \(Q_\alpha=\sum_{i=1}^n\mathbf{F_i}\cdot\frac{\partial \mathbf{r_i}}{\partial q_\alpha}=0\)

我们成功舍去了虚位移（好欸）

达朗贝尔原理

以上我们研究的均为静力学问题，接下来我们把问题开拓到动力学上。

按照牛顿第二定律，对于质点系统的第$i$个质点，有：

我们改写一下 \(\mathbf{F_i}+\mathbf{N_i}-m_i\ddot{\mathbf{r_i}}=0\)

我们不妨将$-m_i\ddot{\mathbf{r_i}}$视作一种力，形式上类似于非惯性系中的惯性力，但是他不是，这里我们认为其为达朗贝尔力，我们用虚功原理改写上面的式子，可得

\[\sum_{i=1}^{n}(\mathbf{F_i}-m_i\mathbf{\ddot{r_i}})\cdot \delta \mathbf{r_i}=0\]

这就是达朗贝尔原理，又称动力学普遍方程，它可叙述为： 主动力和非理想约束力及达朗贝尔力的虚功之和为零

变分

泛函

以函数作为变量的表达式定义为泛函，如下 \(S=\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1+\dot{y}^2} dx\)

如果$y$不同，那我们得到的$S$也不相同，因此，其为以函数$y$为变量的表达式。

泛函极值

在日常生活中，我们一般都想得到一个泛函的极值，实际运用中，泛函几乎是毫无意义的，对我们而言有意义的是其极值，比如最速降线问题(如下图)

为了求解泛函极值，我们引入E-L方程(拉格朗日-欧拉方程)

设有泛函$J$ \(J(y)=\int_a^b f(x,y(x),\dot{y}(x)) dx\)

为了求其极值，我们对其求变分，即在其附近可能的表达式 \(\begin{aligned} \delta J(y)&=\int_a^b(\frac{\partial f}{\partial y}\delta y+\frac{\partial f}{ \partial\dot{y}} \delta \dot{y})dx\\\ &=\int_a^b\frac{\partial f}{\partial y}\delta y dx+\int_a^b\frac{\partial f}{ \partial\dot{y}} d\delta y\\\ &=\int_a^b\frac{\partial f}{\partial y}\delta y dx+\delta y \frac{\partial f}{ \partial\dot{y}}\mid_a^b-\int_a^b\delta y d\frac{\partial f}{ \partial\dot{y}}\\\ &=\int_a^b\delta y(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}) dx\\\ &\to \frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}=0 \end{aligned}\)

此即E-L方程，通过其我们能求出泛函极值

拉格朗日力学

拉格朗日量

我们定义$T$为系统的广义动能，$V$为系统的等效势能，则$L=T-V$为系统的拉格朗日量

最小作用量原理

哈密顿提出，现实生活中的运动总是符合最小作用量原理，我们定义作用量 \(I=\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t) dt\)

则有 \(\delta I =\delta \int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t) dt=0\)

拉格朗日方程

根据E-L方程，我们可以知道 \(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=0\)

此即拉格朗日方程

I hear and I forget

盖耳听为虚

I see and I remember

眼见为实

I do and I understand

行为之悟，悟而思，思而后得道者也

——Confucius